Question

【題目】如圖，矩形OABC在平面直角坐標系內（O為坐標原點），點A在x軸上，點C在y軸上，點B的坐標為（﹣4，﹣4），點E是BC的中點，現將矩形折疊，折痕為EF，點F為折痕與y軸的交點，EF交x軸于G且使∠CEF=60°．

（1）求證：△EFC≌△GFO；

（2）求點D的坐標；

（3）若點P（x，y）是線段EG上的一點，設△PAF的面積為s，求s與x的函數關系式并寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）S=x

【解析】（1）先從B的坐標表示BC和OC的長，從點E為中點表示EC的長，根據60度的正切值得CF的長，依次可得OG、OF的長，根據兩邊及其夾角對應相等的兩三角形全等得結論；

（2）如圖2，構建矩形MNOC，分別計算DM、DN和MC的長，即可以表示D 坐標；

（3）分析兩種情況討論：①當-2≤x<0時P在線段EF上，如圖3，②當0<x≤2時，P在線段FG上，如圖4，利用面積差可以表示s與x的關系式.

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，B（-4， ），

∴∠BCO=90°，BC=4，CO=，

∵點E是BC的中點，

∴EC=BC=2

∵∠CEF=60°

∴∠EFC=30°

∴EF=2

∴CF=，

∴OF=，

∴CF=OF=，

∵∠BCO=∠COG=90°，∠EFC=∠GFO，

∴△EFC≌△GFO ，

（2）解：過作DM⊥BC于M，延長MD交x軸于N，

∵四邊形MNOC是矩形

∴MN=CO=，

∵折痕為EF∴△EFC≌△EDF，

∴DE=CE=2，∠DEF=∠CEF=60°，

∴∠MED=60°∴∠MDE=30°，

∴ME=1，

∴DM=，

∴MC=2+1=3，DN=，

∴D坐標是（-3， ），

（3）∵EC=2，CF=OF=

∴F（0， ），E（-2， ）

設直線EF的解析式為y=kx+b，則，

解得：b=，k=，

∴直線EF的解析式為y=x+，

∴△EFC≌△GFO，，

∴OG=EC=2AG=4+2=6，

當-2≤x<0時，

∵S△PAF=S△PAG-S△FAG，

∴s=，

==3（x+）-=x，

∴S=x ，

當0<x≤2時，

S△PAF=S△FAG-S△PAG，

∴s= ，

=x，

∴

“點睛”本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質、折疊的性質、三角形全等的性質和判定，特殊角的三角函數值。直角三角形30度的性質、三角形面積.且利用分類討論的思想解決第三問的面積問題.