Question

為了改善市民的生活環境，我市在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場，在Rt△ABC內修建矩形水池DEFG，使定點D，E在斜邊AB上，F，G分別在直角邊
BC，AC上；又分別以AB，BC，AC為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設瓷磚，其中AB=24米，∠BAC=60°，設EF=x米，DE=y米．
（1）求y與x之間的函數解析式；
（2）當x為何值時，矩形DEFG的面積最大？最大面積是多少？
（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當x為何值時，矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的？

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=24米，∠BAC=60°，
∴AC=AB=12米，BC=AC=36米，∠ABC=30°，
∴AD==x，BE==x，
∵AD+DE+BE=AB，
∴x+y+x=24，
∴y=24-x-x=24-x，
即y與x之間的函數解析式為y=24-x（0＜x＜18）；

（2）∵y=24-x，
∴矩形DEFG的面積=xy=x（24-x）=-x²+24x=-（x-9）²+108，
∴當x=9米時，矩形DEFG的面積最大，最大面積是108平方米；

（3）記AC、BC、AB為直徑的半圓面積分別為S₁、S₂、S₃，兩彎新月面積為S，
則S₁=πAC²，S₂=πBC²，S₃=πAB²，
∵AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃，
∴S₁+S₂-S=S₃-S_△ABC，
∴S=S_△ABC，
∴兩彎新月的面積S=AC•BC=×12×36=216（平方米）．
如果矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的，
那么-（x-9）²+108=×216，
化簡整理，得（x-9）²=27，
解得x=9±3，符合題意．
所以當x為（9±3）米時，矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的．
分析：（1）先解Rt△ABC，得出AC=12米，BC=36米，∠ABC=30°，再根據三角函數的定義求出AD=x，BE=x，然后根據AD+DE+BE=AB，列出y與x之間的關系式，進而求解即可；
（2）先根據矩形的面積公式得出DEFG的面積=xy，再將（1）中求出的y=24-x代入，得出矩形DEFG的面積=xy=-x²+24x，然后利用配方法寫成頂點式，根據二次函數的性質即可求解；
（3）先證明兩彎新月的面積=△ABC的面積，再根據三角形的面積公式求出兩彎新月的面積，然后根據矩形DEFG的面積及等于兩彎新月面積的列出關于x的一元二次方程，解方程即可求解．
點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用，其中涉及到矩形的性質，解直角三角形，三角函數，勾股定理，二次函數的性質，三角形的面積等知識，綜合性較強，有一定難度．利用數形結合及方程思想是解題的關鍵．