Question

為了改善市民的生活環境，我是在某河濱空地處修建一個如圖所示的休閑文化廣場.在Rt△ABC內修建矩形水池DEFG，使頂點D、E在斜邊AB上，F、G分別在直角邊BC、AC上；又分別以AB、BC、AC為直徑作半圓，它們交出兩彎新月（圖中陰影部分），兩彎新月部分栽植花草；其余空地鋪設地磚.其中米，∠BAC=60⁰.設EF=x米，DE=y米.

（1）求y與x之間的函數解析式；

（2）當x為何值時，矩形DEFG的面積最大？最大面積是多少？

（3）求兩彎新月（圖中陰影部分）的面積，并求當x為何值時，矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的？

 

Answer 1

【答案】

（1）（0＜x＜8）（2）（3）米時

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，由題意得AC=米，BC=36米，∠ABC=30⁰,

∴AB=，。

又∵AD+DE+BE=AB，∴DE=AB－AD－BE。

∴（0＜x＜8）。

（2）∵矩形DEFG的面積，

∴當x=9時，矩形DEFG的面積最大，最大面積為平方米。

（3）記AC為直徑的半圓、BC為直徑的半圓、AB為直徑的半圓面積分別為S₁、S₂、S₃，兩彎新月面積為S，則

由AC²+BC²=AB²可知S₁+S₂=S₃，∴。故S=S_△ABC。

∴兩彎新月的面積S=(平方米)。

由得，解得，符合題意。

∴當米時，矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的。

（1）應用銳角三角函數，將AD，BE用x來表示，由DE=AB－AD－BE列式即得y與x之間的函數解析式。

（2）求出矩形DEFG面積的函數表達式，應用二次函數最值原理求解即可。

（3）應用轉換思想，由S_兩彎新月=S_△ABC，根據矩形DEFG的面積等于兩彎新月面積的列方程求解即可。