Question

已知：矩形ABCD中，AD=6，AB=8．點P為矩形內一點
（1）過點P作MN∥AD，交AB于點M，交CD于點N．
在如圖1中，S_△APD+S_△BPC______；
在如圖2中，S_△APD+S_△BPC______；
在如圖3中，S_△APD+S_△BPC______．

（2）在如圖4中，若點P為矩形內任意一點，根據（1）的結論，請你就S_△APD+S_△BPC與矩形ABCD面積的大小提出猜想，并證明你的猜想；
（3）解決問題：
如圖5，一個矩形被分成不同的4個三角形，其中綠色的三角形的面積占矩形面積的15%，黃色的三角形的面積是21cm²，求該矩形的面積？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據三角形的面積公式求出△APD和△BPC的面積，相加即可得出答案；
（2）S_△APD+S_△BPC與矩形ABCD面積的大小關系是S_△APD+S_△BPC=S_矩形ABCD，過P作MN∥AD，交AB予M，交CD于N，過P作EF⊥AD于E，交BC于F，求出EF=AB=CD，EF⊥BC，根據三角形的面積公式分別求出△APD和△BPC的面積，求出矩形的面積，即可得出答案；
（3）求出黃色占矩形的百分比，再21除以百分比即可得出答案．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC=6，AB=CD=8，
如圖1：S_△APD+S_△BPC=×AD×4+BC×4=×6×4+×6×4=24，
如圖2：S_△APD+S_△BPC=×6×2+×6×6=24，
如圖3：S_△APD+S_△BPC=×6×5+×6×3=24，
故答案為：24，24，24；

（2）解：S_△APD+S_△BPC與矩形ABCD面積的大小關系是S_△APD+S_△BPC=S_矩形ABCD，
理由是：過P作MN∥AD，交AB予M，交CD于N，過P作EF⊥AD于E，交BC于F，
∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC∥MN，
∴EF=AB=CD=8，
∵EF⊥AD，AD∥BC，
∴EF⊥BC，
∴S_△APD+S_△BPC=×AD×PE+×BC×PF，
=AD（PE+PF），
=×AD×EF，
=S_矩形ABCD，
即S_△APD+S_△BPC與矩形ABCD面積的大小關系是S_△APD+S_△BPC=S_矩形ABCD．


（3）解：∵由（2）可知：黃色的三角形占矩形面積的50%-15%=35%，
∴矩形的面積是：21÷35%=60，
答：矩形的面積是60cm²．
點評：本題考查了矩形的性質和三角形的面積公式，主要考查學生的計算能力和觀察圖象的能力．