Question

某公司投資700萬元購買甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)技術(shù)和設(shè)備后,進(jìn)行這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)加工.已知生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)30元,生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件還需成本費(fèi)20元.經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):甲種產(chǎn)品的銷售單價(jià)定在35元到70元之間較為合理,設(shè)甲種產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x（元）,年銷售量為y（萬件）.當(dāng)35≤x≤50時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=20－0.2x;當(dāng)50≤x≤70時(shí),y與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)在25元（含）到45元（含）之間,且年銷售量穩(wěn)定在10萬件.物價(jià)部門規(guī)定這兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)之和為90元.

（1）當(dāng)50≤x≤70時(shí),求出甲種產(chǎn)品的年銷售量y（萬件）與x（元）之間的函數(shù)解析式.

（2）若該公司第一年的年銷售利潤（年銷售利潤=年銷售收入－生產(chǎn)成本）為W（萬元）,那么怎樣定價(jià),可使第一年的年銷售利潤最大?最大年銷售利潤是多少?

（3）第二年公司可重新對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行定價(jià),在（2）的條件下,并要求甲種產(chǎn)品的銷售單價(jià)x（元）在50≤x≤70范圍內(nèi),該公司希望到第二年年底,兩年的總盈利（總盈利=兩年的年銷售利潤之和－投資成本）不低于85萬元.請(qǐng)求出第二年乙種產(chǎn)品的銷售單價(jià)m（元）的范圍.

Answer 1

（1）y=－0.1x+15（2）415萬元（3）30≤m≤40

【解析】

試題分析：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），然后把點(diǎn)（50，10），（70，8）代入求出k、b的值即可得解；

（2）先根據(jù)兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)之和為90元，根據(jù)乙種產(chǎn)品的定價(jià)范圍列出不等式組求出x的取值范圍是45≤x≤65，然后分45≤＜50，50≤x≤65兩種情況，根據(jù)銷售利潤等于兩種產(chǎn)品的利潤之和列出W與x的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的增減性確定出最大值，從而得解；

（3）用第一年的最大利潤加上第二年的利潤，然后根據(jù)總盈利不低于85萬元列出不等式，整理后求解即可．

試題解析：（1）設(shè)當(dāng)50≤x≤70時(shí),y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b.把（50,10）,（70,8）代入得

解得

∴當(dāng)50≤x≤70時(shí),y與x的函數(shù)解析式為y=－0.1x+15.

（2）①依題意知:25≤90－ x≤45,即45≤x≤65.

當(dāng)45≤x≤50時(shí),W=（x－30）（20－0.2x）+10（90－x－20）=－0.2x2+16x+100=－0.2（x－40）2+420.

由函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)x=45時(shí),W最大值為415.

當(dāng)50≤x≤65時(shí),

W=（x－30）（－0.1x+15）+10（90－x－20）=－0.1x2+8x+250=－0.1（x－40）2+410.

由函數(shù)的性質(zhì)知,當(dāng)x=50時(shí),W最大值為400.

綜上所述,當(dāng)x=45時(shí),即甲、乙兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)均定在45元時(shí),可使第一年的年銷售利潤最大,最大年銷售利潤是415萬元.

（3）30≤m≤40.

由題意,令W=－0.1x2+8x+250+415－700≥8整理,得x2－80x+120≤0,

解得20≤x≤60

∵50≤x≤65,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分析,50≤x≤60

即50≤90－m≤60.

故30≤m≤40.

考點(diǎn)：待定系數(shù)法，二次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的解集