Question

5．如圖所示，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形=EFPQ的一邊QP在BC邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H．
（1）求證：$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$；
（2）設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大？并求其最大值．

Answer 1

分析 （1）根據矩形的性質得出EQ=HD=FP，EF∥BC，推出△AEF∽△ABC，根據相似三角形的性質推出即可；
（2）根據矩形的面積公式，可以把面積表示成關于EF的長的函數，根據函數的性質即可求解．

解答 （1）證明：∵四邊EFPQ是矩形，
∴EQ=HD=FP，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$（相似三角形對應邊上的高的比等于相似比）．

（2）解：∵由（1）得$\frac{AH}{AD}$=$\frac{EF}{BC}$，
∵BC=10，AD=8，EF=x，
∴$\frac{AH}{8}$=$\frac{x}{10}$．
∴AH=$\frac{4}{5}$x．
∴EQ=HD=AD-AH=8-$\frac{4}{5}$x．
∴y=EF×EQ=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=-$\frac{4}{5}$（x-5）²+20．
∵a=-$\frac{4}{5}$＜0，
∴當x=5時，y的最大值為20．

點評 本題考查的是相似三角形的判定與性質，熟知相似三角形的對應邊成比例是解答此題的關鍵．