Question

如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，P是直線BC上一點．
（1）若CP=CD，求證：△DBP是等腰三角形；
（2）在圖①中建立以△ABC的邊BC的中點為原點，BC所在直線為x軸，BC邊上的高所在直線為y軸的平面直角坐標系，如圖②，已知等邊△ABC的邊長為2，AO=

3

，在x軸上是否存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，請求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：根據已知及等邊三角形的性質可求得BD=DP，即△DBP是等腰三角形；Q點的坐標需分三種情況進行分析，分別是若點Q在x軸負半軸上，若點Q在x軸上，若點Q在x軸正半軸上．

解答：證明：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是中線
∴∠DBC=30°
∵CP=CD
∴∠CPD=∠CDP
又∵∠ACB=60°
∴∠CPD=30°
∴∠CPD=∠DBC
∴DB=DP
即△DBP是等腰三角形；

（2）在x軸上存在除點P以外的點Q，使△BDQ是等腰三角形
①若點Q在x軸負半軸上，且BQ=BD
∵BD=

3

∴BQ=

3

∴OQ=

3

+1
∴點Q₁（-

3

-1，0）；

②若點Q在x軸上，且BQ=QD
∵∠QBD=∠QDB=30°
∴∠DQC=60°
又∠QCD=60°
∴QC=DC=1，而OC=1
∴OQ=0，
∴點Q₂（0，0）；

③若點Q在x軸正半軸上，且BQ=BD
∴BQ=

3

，而OB=1
∴OQ=

3

-1
∴點Q₃（

3

-1，0）．

點評：此題主要考查學生對等腰三角形的判定及等邊三角形的性質的掌握情況；分情況討論是正確解答本題的關鍵．