Question

1．已知頂點為A（2，-1）的拋物線經過點B（0，3），與x軸交于C、D兩點（點C在點D的左側）；
（1）求這條拋物線的表達式；
（2）聯結AB、BD、DA，求△ABD的面積；
（3）點P在x軸正半軸上，如果∠APB=45°，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，把（0，3）代入可得a=1，即可解決問題．
（2）首先證明∠ADB=90°，求出BD、AD的長即可解決問題．
（3）由△PDB∽△ADP，推出PD²=BD•AD=3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=6，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵頂點為A（2，-1）的拋物線經過點B（0，3），
∴可以假設拋物線的解析式為y=a（x-2）²-1，
把（0，3）代入可得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（2）令y=0，x²-4x+3=0，解得x=1或3，
∴C（1，0），D（3，0），
∵OB=OD=3，
∴∠BDO=45°，
∵A（2，-1），D（3，0），作AF⊥CD，則AF=DF=1
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠ADO=45°，
∴∠BDA=90°，
∵BD=3$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$•BD•AD=3．

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，
∴∠DBP=∠APD，
∵∠PDB=∠ADP=135°，
∴△PDB∽△ADP，
∴PD²=BD•AD=3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=6，
∴PD=$\sqrt{6}$，
∴OP=3+$\sqrt{6}$，
∴點P（3+$\sqrt{6}$，0）．

點評 本題考查二次函數與x軸的交點、待定系數法．三角形的面積、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會利用相似三角形的性質解決問題，屬于中考�？碱}型．