Question

如圖，在圓O中AB是直徑，AT是經過點A的切線，弦CD垂直AB于P點，線段CP的中點為Q，連接BQ并延長交切線AT于T點，連接OT．
（1）求證：BC∥OT；
（2）若⊙O直徑為10，CD=8，求AT的長；
（3）延長TO交直線CD于R，若⊙O直徑為10，CD=8，求TR的長．

Answer 1

解：（1）取BP的中點E，連接QE；
∵Q是PC的中點，E是PB的中點，
∴QE為△PBC的中位線，QE∥BC；
∵AT為經過A點的切線，AB為直徑，
∴AT⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AT∥CD，∠TAO=∠QPE=90°，
∴△BPQ∽△BAT，
∴；
∵PB=2PE，AB=2AO，
∴，
∴△TAO∽△QPE，
∴∠AOT=∠PEQ，
∴OT∥QE；
∵QE∥BC，
∴BC∥OT．

（2）∠AOT=∠CBP；
∵CD⊥AB，AB為直徑CD=8，
∴CP=PD=4；
連接OC，在Rt△OCP中，
∵PC=4，OC=AB=5，
∴OP=3，
∴PB=OB-OP=2，
∴△ATO∽△CPB，
∴；
∵AO=AB=5，
∴AT=10．

（3）在Rt△OAT中，OT==5，
∵AT∥CR，
∴△AOT∽△POR，
∴，
OR=，
∴TR=OT+OR=8．
分析：（1）此題要通過構造相似三角形求解，由于P是CD的中點，由垂徑定理知CD⊥AB，有切線的性質可得：AT⊥AB，由此可證得CD∥AT，得BP：PQ=BA：AT，取BP的中點E，則PB=2QE，又因為BA=2OA，等量代換后可證得PE：QP=OA：AT，由此可得△PQE∽△AEO，根據相似三角形所得的等角，可證得QE∥OT，而QE是△PBC的中位線，則QE∥BC，根據平行線的傳遞性即可證得OT∥BC．
（2）（3）題可利用△ATO∽△CPB求出AT和OT的值，再利用△AOT∽△POR求出OR的值，從而解決問題．
點評：本題主要是考查切線的性質、三角形中位線定理、勾股定理及相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是構造出與所求相關的三角形中位線，通過三角形中位線定理和圓的切線性質得出三角形相似，從而解決問題．