Question

2．讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示1開始的100個連續自然數的和．由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可以將“1+2+3+4+5+…+100”表示為$\sum_{n=1}^{100}n$，這里“∑”是求和符號．例如：1+3+5+7+9+…+99，即從1開始的100以內的連續奇數的和，可表示為$\sum_{n=1}^{50}（2n-1）$；又如1³+2³+3³+…+8³+9³+10³可表示為$\sum_{n=1}^{10}{n}^{3}$．通過對上以材料的閱讀，請解答下列問題：
（1）2+4+6+…+100（即從2開始的100以內的連續偶數的和）用求和符合可表示為$\sum_{n=1}^{50}2n$；
（2）計算$\sum_{2}^{2016}\frac{1}{n（n-1）}$．

Answer 1

分析 （1）根據題中的新定義得出結果即可；
（2）利用題中的新定義將原式變形，計算即可得到結果．

解答 解：（1）根據題意得：2+4+6+8+10+…+100=$\sum_{n=1}^{50}2n$，
故答案為：$\sum_{n=1}^{50}2n$；

（2）$\sum_{2}^{2016}\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$．

點評 此題考查了數字的變化規律及有理數的加法，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．