Question

17．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D為底邊BC的中點，以D為頂點的角∠PDQ=∠B．
（1）如圖1，若射線DQ經過點A，DP交AC邊于點E，直接寫出與△CDE相似的三角形；
（2）如圖2，若射線DQ交AB于點F，DP交AC邊于點E，設AF=x，AE為y，試寫出y與x的函數關系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）在（2）的條件下，連接EF，則△DEF與△CDE相似嗎？試說明理由．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD∽△ACD，證出∠PDQ=∠C，由∠DAE=∠CAD，得出△ADE∽△ACD；在證出△CDE∽△CAD，即可得出結果；
（2）證出△BDF∽△CDE，得出對應邊成比例$\frac{BF}{CD}=\frac{BD}{CE}$，即可得出y與x的函數關系式；
（3）由（2）可知：△BDF∽△CDE，得出$\frac{DF}{DE}=\frac{BD}{CE}$，證出$\frac{DF}{DE}=\frac{CD}{CE}$，由∠EDF=∠C，即可得出△DEF∽△CED．

解答 解：（1）與△CDE相似的三角形為△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：
∵AB=AC，D為底邊BC的中點，
∴∠B=∠C，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△ACD，
∵∠PDQ=∠B，
∴∠PDQ=∠C，
又∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠CDE+∠PDQ=90°，
∴∠C+∠PDQ=90°，
∴∠CED=90°=∠ADC，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；
（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，
∠FDC=∠FDE+∠EDC，
∴∠EDC=∠BDF，
∴△BDF∽△CDE，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{BD}{CE}$，
∵D為BC的中點，
∴BD=CD=6，
∴$\frac{10-x}{6}=\frac{6}{10-y}$
∴y=$\frac{10x-64}{x-10}$；
（3）△DEF與△CDE相似．理由如下：如圖所示：
由（2）可知：△BDF∽△CDE，
則$\frac{DF}{DE}=\frac{BD}{CE}$，
∵BD=CD，
∴$\frac{DF}{DE}=\frac{CD}{CE}$，
又∵∠EDF=∠C，
∴△DEF∽△CED．

點評 本題是相似形綜合題目，考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、三角形的外角性質等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關鍵．