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當x=2時,拋物線y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且拋物線與y軸交于點C(0,3),與x軸交于點A、B.
(1)求該拋物線的關系式;
(2)若點M(x,y1),N(x+1,y2)都在該拋物線上,試比較y1與y2的大小;
(3)D是線段AC的中點,E為線段AC上一動點(A、C兩端點除外),過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F.問:是否存在△DEF與△AOC相似?若存在,求出點E的坐標;若不存在,則說明理由.

【答案】分析:(1)已知,當x=2時,拋物線的最小值為-1,因此拋物線的頂點坐標為(2,-1);可用頂點式來設拋物線的解析式,然后將C的坐標代入即可求出拋物線的解析式.
(2)可先將M,N的坐標代入(1)的拋物線解析式中,可得出y1、y2的表達式.然后讓y1-y2,然后看得出的結果中在x的不同取值范圍下,y1、y2的大小關系.
(3)由于EF∥OC,那么∠FED=45°,因此要使三角形EFD與三角形COA相似,只有兩種情況:
①當D為直角頂點時,∠EDF=90°,由于D是AC中點,而FD⊥AC,三角形AOC又是個等腰直角三角形,因此DF正好在∠COA的平分線上,即DF在直線y=x上,此時可先求出直線AC的函數關系式,然后聯立拋物線的解析式求出F的坐標,由于E、F的橫坐標相同,將F的橫坐標代入AC所在的直線的解析式中即可求出E點的坐標.
②當F為直角頂點時,∠EFD=90°,那么DF與三角形AOC的中位線在同一直線上,即DF所在的直線的解析式為y=,然后可根據①的方法求出E點的坐標.
解答:解:(1)由題意可設拋物線的關系式為
y=a(x-2)2-1
因為點C(0,3)在拋物線上
所以3=a(0-2)2-1,即a=1
所以,
拋物線的關系式為y=(x-2)2-1=x2-4x+3;

(2)∵點M(x,y1),N(x+1,y2)都在該拋物線上
∴y1-y2=(x2-4x+3)-[(x+1)2-4(x+1)+3]=3-2x
當3-2x>0,即x<時,y1>y2
當3-2x=0,即x=時,y1=y2
當3-2x<0,即x>時,y1<y2

(3)令y=0,即x2-4x+3=0,
得點A(3,0),B(1,0),線段AC的中點為D(
直線AC的函數關系式為y=-x+3
因為△OAC是等腰直角三角形,
所以,要使△DEF與△AOC相似,△DEF也必須是等腰直角三角形.
由于EF∥OC,因此∠DEF=45°,
所以,在△DEF中只可能以點D、F為直角頂點.
①當F為直角頂點時,DF⊥EF,此時△DEF∽△ACO,DF所在直線為
由x2-4x+3=,解得x=,x=(舍去)
代入y=-x+3,
得點E(
②當D為直角頂點時,DF⊥AC,此時△DEF∽△OAC,由于點D為線段AC的中點,
因此,DF所在直線過原點O,其關系式為y=x.
解x2-4x+3=x,得(舍去)
代入y=-x+3,
得點E().
點評:本題結合等腰三角形的相關知識考查了一次函數及二次函數的應用,要注意的是(3)中在不確定△EDF的直角頂點的情況下要分類進行討論,不要漏解.
練習冊系列答案
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如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上,OA=16cm,OC=8cm,現有兩動點P、Q分別從O、C同時出發,P在線段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度勻速運動,Q在線段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度勻速運動.設運動時間為t秒.
(1)用含t的式子表示△OPQ的面積S;
(2)判斷四邊形OPBQ的面積是否是一個定值?如果是,請求出這個定值;如果不是,請說明理由;
(3)當△OPQ∽△ABP時,拋物線y=
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x2+bx+c經過B、P兩點,求拋物線的解析式;
(4)在(3)的條件下,過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于N,求線段MN的最大值.

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(2013•惠安縣質檢)如圖,在平面直角坐標系xOy中,矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸上,OA=8,OC=4.現有兩動點P、Q分別從O、C同時出發,點P在線段OA上沿OA方向以每秒2個單位長的速度勻速運動,點Q在線段CO上沿CO方向以每秒1個單位長的速度勻速運動.設運動時間為t秒.
(1)填空:OP=
2t
2t
,OQ=
4-t
4-t
;(用含t的式子表示)
(2)試證明:四邊形OPBQ的面積是一個定值,并求出這個定值;
(3)當∠QPB=90°時,拋物線y=
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x2+bx+c
經過B、P兩點,過線段BP上一動點M作y軸的平行線交拋物線于點N,交線段CB于點G,交x軸于點H,連結PG,BH,試探究:當線段MN的長取最大值時,判定四邊形GPHB的形狀.

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如圖,當x=2時,拋物線y=ax2+bx+c取得最小值-1,并且與y軸交于點C(0,3),與x軸交于點A,B(A在B的右邊).
(1)求拋物線的解析式.
(2)D是線段AC的中點,E為線段AC上的一動點(不與A,C重合),過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F.問:是否存在△DEF與△AOC相似?若存在,求出點E的坐標;若不存在,請說明理由.
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使得△APD為等腰三角形?若存在,請直接寫出點p的坐標;若不存在,請說明理由.

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當m=
2
2
時,拋物線y=x2-2mx+4m+1的頂點位置最高.

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