Question

當x=2時，拋物線y=ax²+bx+c取得最小值-1，并且拋物線與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B．
（1）求該拋物線的關系式；
（2）若點M（x，y₁），N（x+1，y₂）都在該拋物線上，試比較y₁與y₂的大小；
（3）D是線段AC的中點，E為線段AC上一動點（A、C兩端點除外），過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F．問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點E的坐標；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知，當x=2時，拋物線的最小值為-1，因此拋物線的頂點坐標為（2，-1）；可用頂點式來設拋物線的解析式，然后將C的坐標代入即可求出拋物線的解析式．
（2）可先將M，N的坐標代入（1）的拋物線解析式中，可得出y₁、y₂的表達式．然后讓y₁-y₂，然后看得出的結果中在x的不同取值范圍下，y₁、y₂的大小關系．
（3）由于EF∥OC，那么∠FED=45°，因此要使三角形EFD與三角形COA相似，只有兩種情況：
①當D為直角頂點時，∠EDF=90°，由于D是AC中點，而FD⊥AC，三角形AOC又是個等腰直角三角形，因此DF正好在∠COA的平分線上，即DF在直線y=x上，此時可先求出直線AC的函數關系式，然后聯立拋物線的解析式求出F的坐標，由于E、F的橫坐標相同，將F的橫坐標代入AC所在的直線的解析式中即可求出E點的坐標．
②當F為直角頂點時，∠EFD=90°，那么DF與三角形AOC的中位線在同一直線上，即DF所在的直線的解析式為y=

3

2

，然后可根據①的方法求出E點的坐標．

解答：解：（1）由題意可設拋物線的關系式為
y=a（x-2）²-1
因為點C（0，3）在拋物線上
所以3=a（0-2）²-1，即a=1
所以，
拋物線的關系式為y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）∵點M（x，y₁），N（x+1，y₂）都在該拋物線上
∴y₁-y₂=（x²-4x+3）-[（x+1）²-4（x+1）+3]=3-2x
當3-2x＞0，即x＜

3

2

時，y₁＞y₂
當3-2x=0，即x=

3

2

時，y₁=y₂
當3-2x＜0，即x＞

3

2

時，y₁＜y₂

（3）令y=0，即x²-4x+3=0，
得點A（3，0），B（1，0），線段AC的中點為D（

3

2

，

3

2

）
直線AC的函數關系式為y=-x+3
因為△OAC是等腰直角三角形，
所以，要使△DEF與△AOC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．
由于EF∥OC，因此∠DEF=45°，
所以，在△DEF中只可能以點D、F為直角頂點．
①當F為直角頂點時，DF⊥EF，此時△DEF∽△ACO，DF所在直線為y=

3

2

由x²-4x+3=

3

2

，解得x=

4- 10

2

，x=

4+ 10

2

＞3（舍去）
將x=

4- 10

2

代入y=-x+3，
得點E（

4- 10

2

，

2+ 10

2

）
②當D為直角頂點時，DF⊥AC，此時△DEF∽△OAC，由于點D為線段AC的中點，
因此，DF所在直線過原點O，其關系式為y=x．
解x²-4x+3=x，得x=

5- 13

2

，x=

5+ 13

2

＞3（舍去）
將x=

5- 13

2

代入y=-x+3，
得點E（

5- 13

2

，

1+ 13

2

）．

點評：本題結合等腰三角形的相關知識考查了一次函數及二次函數的應用，要注意的是（3）中在不確定△EDF的直角頂點的情況下要分類進行討論，不要漏解．