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等腰直角三角形ABC的斜邊BC的長為8，直線MN∥BC且與AB、AC分別交于M、N，將△AMN沿直線MN翻折得△A′MN，設△A′MN與△ABC重合部分面積為y，MN=x，
（1）當A′在△ABC內部時，求y與x的函數關系式，并求x的取值范圍；
（2）是否存在直線MN，使y的值為△ABC面積的 $數學公式$ ？若存在，求對應的x值；若不存在，說明理由．

解：（1）y=S_△A′MN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ x• $\text{[math]}$ x= $\text{[math]}$ x²（0＜x＜4）；

（2）S_△ABC= $\text{[math]}$ ×8×4=16，當A′在BC上時，x=4，y=4，
∴①當A′在BC邊上或在△ABC內部時，0＜y≤4， $\text{[math]}$ 不在這個范圍內，所以這時不存在直線MN．
②

當A′在△ABC外部時，連AA′交MN于F，交BC于G，且A′F=AF= $\text{[math]}$ x，
∴FG=4- $\text{[math]}$ x，
∴A′G= $\text{[math]}$ x-4+ $\text{[math]}$ x=x-4，
∴DE=2A′G=2x-8，
∴y= $\text{[math]}$ （x+2x-8）×（4- $\text{[math]}$ x）=- $\text{[math]}$ x²+8x-16（其中4＜x＜8），
當y= $\text{[math]}$ 時，
∵- $\text{[math]}$ x²+8x-16= $\text{[math]}$ ，
即：（3x-16）²=0，
解為x₁=x₂= $\text{[math]}$ ，
∵4＜x＜8，
∴存在直線MN使重疊部分面積為△ABC面積的 $\text{[math]}$ ，
此時x= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）因為A′在ABC的內部，所以△A′MN的面積既是△AMN的面積，從而利用等腰直角三角形的性質即可得出y與x的函數關系式．
（2）先計算△ABC的面積，分情況進行討論：①當A′在BC邊上或在△ABC內部時，0＜y≤4，根據（1）的函數關系式可作出判斷；②當A′在△ABC外部時，求出梯形MNED的面積，結合題意可得出x的值，符合題意即存在，不符合則不存在．
點評：本題考查翻折變換及等腰三角形的性質，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是正確的畫出示意圖，利用所學的知識表示出重疊的面積，要求同學們熟練基礎知識的掌握，此類綜合題一般要求對基礎知識比較熟悉才能解答出來．

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科目：初中數學 來源： 題型：

把兩個全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現將三角板EFG繞O點逆時針旋轉（旋轉角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．
（1）在上述旋轉過程中，BH與CK有怎樣的數量關系四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發現的結論；
（2）連接HK，在上述旋轉過程中，設BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的

？若存在，求出此時x的值；若不存在，說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為4．若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=a，CD=b．
（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；
（2）求a•b的值；
（3）在旋轉過程中，當△AFG旋轉到如圖2的位置時，AG與BC交于點E，AF的延長線與CB的延長線交于點D，那么a•b的值是否發生了變化？為什么？