Question

（1）如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦，它們相交于點P，連接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的長是______．

（2）閱讀材料：如圖，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．

解答下列問題：
如圖，拋物線頂點坐標為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
①求拋物線和直線AB的解析式；
②點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，連接PA，PB，當P點運動到頂點C時，求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
③點P是拋物線（在第一象限內）上的一個動點，是否存在一點P，使S_△PAB=S_△CAB，若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接AC

∵AD=BD，
∴∠ACD=∠ABD=∠DAB
又∵∠ADP=∠CDA
∴△ACD∽△PAD
∴=
∴設PD=x，則CD=x+6，
=
解得：x=-8或2
所以CD=6+2=8；

（2）解：①設拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
設直線AB的解析式為：y₂=kx+b
求得B點的坐標為（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3
②因為C點坐標為（1，4）
所以當x=1時，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
③假設存在符合條件的點P，設點P的橫坐標是x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
由S_△PAB=S_△CAB
得：，化簡得：4x²-12x+9=0
解得，，
將代入y₁=-x²+2x+3中，
解得P點坐標為
分析：（1）連接AD，AC，易證△ACD∽△PAD，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求解；
（2）①已知拋物線的頂點和拋物線上的幾點，即可利用待定系數(shù)法求解析式；
②C點坐標為（1，4），根據三角形的面積公式即可求解；
③根據S_△PAB=S_△CAB即可得到一個關于點P的橫坐標的方程，即可求出x的值．進而得到P點的坐標．
點評：主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．