Question

（2004•武漢）已知：如圖，⊙O₁與⊙O₂內切于P點，過P點作直線交⊙O₁于A點，交⊙O₂于B點，C為⊙O₁上一點，過B點作⊙O₂的切線交直線AC于Q點．
（1）求證：AC•AQ=AP•AB；
（2）若將兩圓內切改為外切，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？______請你畫出圖形，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明線段的乘積相等，可以轉化為證明線段成比例，即證明△ABQ∽△ACP，圍繞證明相似找條件；
（2）仍成立，仿照（1）的證明方法．
解答：（1）證明：過P點作兩圓的公切線MN，與QB的延長線交于N點，連接PC，
∵BQ、MN是⊙O₂的切線，∴NB=NP，
∴∠QBA=∠NBP=∠NPB，
又∵MN是⊙O₂的切線，
∴∠PCA=∠NPB，可得∠QBA=∠PCA，又∠A=∠A，
∴△ABQ∽△ACP，
∴=，即AC•AQ=AP•AB；

（2）解：結論仍成立．
證明：過點P作兩圓的公切線MN，與BQ交于N點，連接PC，
因為BQ是圓的切線，設MN與BQ交于點E，
則根據切線長定理得到NP=NB，
∴∠NPB=∠QBP=∠APM，
又∵∠APM=∠ACP，
∴∠QBP=∠ACP，
∴△ABQ∽△ACP，
∴AC•AQ=AP•AB仍成立．
點評：證明線段的乘積相等的問題一般是轉化為證明三角形相似的問題．