Question

（2004•武漢）已知：二次函數y=ax²-（b-1）x-3a的圖象經過點P（4，10），交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點（x₁＜x₂），交y軸負半軸于C點，且滿足3OA=OB．
（1）求二次函數的解析式；
（2）在二次函數的圖象上是否存在點M，使銳角∠MCO＞∠ACO？若存在，請你求出M點的橫坐標的取值范圍；若不存在，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據韋達定理和3OA=OB可得出一個關于a、b的等量關系式，將P點坐標代入拋物線中可得出另一個a、b的關系式，聯立兩個式子即可求出待定系數的值，也就得出了拋物線的解析式；
（2）如圖，取A點關于y軸的對稱點，那么∠A′CO=∠ACO，如果設直線A′C與拋物線的交點為N點話，那么如果使∠MCO＞∠A′CO，那么必須滿足的條件為M的橫坐標在A的橫坐標與N的橫坐標之間，據此可求出M橫坐標的取值范圍（M的橫坐標不能為0，否則構不成銳角∠MCO）．
解答：解：（1）∵P（4，10）在圖象上，
∴16a-4（b-1）-3a=10①；
∵圖象交y軸負半軸于C，
∴-3a＜0，
∴a＞0，x₁x₂==-3＜0，
∴x₁＜0，x₂＞0，x₂=-3x₁
x₁+x₂=x₁+（-3x₁）=-2x₁=-，x₁x₂=-3x₁²=-3，
∴x₁²=1，又x₁＜0，
∴x₁=-1，
∴x₂=3，
∴b-1=2a②，
聯立①②解得：a=2，b=5，
∴y=2x²-4x-6；

（2）存在點M，使∠MCO＞∠ACO，A點關于y軸對稱點A′（1，0），
設直線A′C為y=kx+b，由于直線A′C過（1，0），（0，-6），則有：
，
解得．
∴y=6x-6，聯立拋物線的解析式有：
，
解得，
即直線A′C與拋物線交點為（0，-6），（5，24），
當y=-6時，即2x²-4x-6=-6，
解得：x₁=0，x₂=2，
∵∠MCO是銳角，
∴符合題意的x的取值范圍是-1＜x＜0或2＜x＜5．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、韋達定理的應用、軸對稱圖形、函數圖象交點等知識．