Question

（1）如圖，要在一塊形狀為直角三角形（∠C為直角）的鐵皮上裁出一個半圓形的鐵皮，需先在這塊鐵皮上畫出一個半圓，使它的圓心O在線段AC上，且與AB、BC都相切．請你用直尺和圓規畫出來（要求用尺規作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）．
（2）若AC=3，BC=4，求上述半圓的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于⊙O與BC、AB都相切，即O到AB、BC的距離相等，因此點O必為∠ABC的角平分線與線段AC的交點，可據此進行作圖．
（2）設⊙O與AB的切點為D，由勾股定理易求得AB的值，根據切線長定理知：BC=BD，即可求得AD的長，設出⊙O的半徑，并表示出OA、OD的長，在Rt△OAD中，根據勾股定理即可求得⊙O的半徑，進而可得⊙O的直徑．（此題解法較多，只要能求出結果即可）
解答：解：（1）作出角平分線得（1分），作出半圓再得（1分），小結（1分），共（3分）．

（2）方法一：
解：設半⊙O切BA于點D；
∵AC=3，BC=4，
∴；（4分）
∵半⊙O切BA、BC于點D、C，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB-BD=1；（5分）
又∵AB與⊙O相切于點D，
∴OD⊥AB，∴∠ADO=90°；
設半⊙O的半徑為r，在Rt△ADO中，由勾股定理得AD²+OD²=OA²，
即1²+r²=（3-r）²（7分）
解得，，
∴半⊙O的直徑等于．（8分）
方法二：同一，證得∠ADO=90°，∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴，
即，解得，
∴半⊙O的直徑等于．
方法三：同一，證得∠ADO=90°，
∵，
∴AB•OD=AO•BC，
即5r=4（3-r），
解得，
∴半⊙O的直徑等于．
點評：此題考查了角平行的性質、切線的性質、切線長定理、勾股定理等知識的綜合應用，難度適中．