Question

1．如圖，ABCD是邊長為1的正方形，對角線AC所在的直線上有兩點M、N，使∠MBN=135°，則MN的最小值是（　�。�

• A． 1+$\sqrt{2}$
• B． 2$+\sqrt{2}$
• C． 3+$\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 分析：由已知可知M、N分布在AB兩側，因為∠ABC=90°，∠MBN=135°，所以∠ABM+∠CBN=45°，根據∠ACB=45°，由三角形外角的性質得到∠CBN+∠N=45°，所以∠ABM=∠N 同理可得∠BMA=∠CBN，所以△BMA～△NBC，根據三角形相似的性質可求得AM•CN=1，由不等式AM+CN≥2AM•CN，當且僅當AM=CN時，等式成立，可求得AM+CN的最小值，進一步求得的最小值．

解答 解：易知M、N必分布在AB的兩側，
∵∠MBN=135°，∠ABC=90°
∴∠ABM+∠CBN=45°，
∵∠ACB=∠CBN+∠N=45°，
∴∠ABM=∠N，同理∠BMA=∠CBN，
∴△BMA～△NBC，
∴$\frac{BC}{AM}=\frac{CN}{AB}，即\frac{1}{AM}=\frac{CN}{1}$，
∴AM•CN=1，
∴MN=AM+AC+CN≥2AM•CN+$\sqrt{2}$=2+$\sqrt{2}$，
當且僅當AM=CN時成立，
∴$M{N}_{min}=2+\sqrt{2}$，
故選：B

點評 本試題考查了線段的最值問題，這類題目一方面要考慮兩點之間線段最短，另一方面我們還可以利用均值不等式（即a+b≥2ab，當且僅當a=b時等式成立，a、b 為正數）