Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x2+px+q=0的兩個根．
（1）求實數p、q應滿足的條件
（2）若p、q滿足（1）的條件，方程x2+px+q=0的兩個根是否等于Rt△ABC中兩銳角A、B的正弦？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵sinA、sinB是方程x2+px+q=0的兩個根，∴sinA+sinB=﹣p，即：sinA+cosA=﹣p，∴sin（A+45°）=﹣p

∵0°＜A＜90°，∴1＜﹣p≤，∴﹣≤p＜﹣1，∵sinAsinB=q，即sinAcosA=q，∴sin2A=2q，∴0＜q＜，

∵sin2A+sinB2=（sinA+sinB）2﹣2sinAsinB，∴p2﹣2q=1，

∴實數p、q應滿足的條件是：p2﹣2q=1，∴﹣≤p＜﹣1，0＜q≤．

（2）

解：∵0＜q≤，設sin2A=2q，則2A=2a，或180°﹣2a，即：A=a或90°﹣a，

∵sina和sin（90°﹣a）是方程的兩根，即它們是直角三角形的兩個銳角的正弦值．

【解析】（1）根據sinA+cosA=sin（A+45°），sinAcosA=sin2A，以及根與系數的關系，即可得到關于p，q的不等式，以及sin2A+sinB2=1，即可求得p，q的關系．
（2）根據（1）可以得到sin2A=2q，求得A的值，證明A的值可以取互余的兩個角的度數，即可證得．
【考點精析】認真審題，首先需要了解銳角三角函數的增減性(當角度在0°~90°之間變化時：（1）正弦值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減小）（4）余切值隨著角度的增大（或減小）而減小（或增大）)．