Question

【題目】如圖1，若順次連接四邊形ABCD各邊中點得的四邊形EFGH是矩形，則稱原四邊形ABCD為“中母矩形”即若四邊形的對角線互相垂直，那么這個四邊形稱為“中母矩形”.

（1）如圖2，在直角坐標系xOy中，已知A（4，0），B（1，4），C（4，6），請在格點上標出D點的位置（只標一點即可），使四邊形ABCD是中母矩形.并寫出點D的坐標.

（2）如圖3，以△ABC的邊AB，AC為邊，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，連接CE，BG相交于點O，試判斷四邊形BEGC是中母矩形？說明理由.

（3）如圖4，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，E是斜邊AC的中點，F是直角邊AB的中點，P是直角邊BC上一動點，試探究：當PC＝_____時，四邊形BPEF是中母矩形？（直角三角形中，30°角所對的直角邊是斜邊的一半）

Answer 1

【答案】（1）圖詳見解析，D（6，4）；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）根據中母矩形的定義進而得出當BD∥x軸時，D在線段AC右側即可；（2）利用正方形的性質結合全等三角形的判定方法得出△EAC≌△GAB（SAS），進而得出EC⊥BG，得出答案即可；（3）根據中位線的性質可得EF的長，利用“中母矩形”的定義結合相似三角形的性質與判定可得出BP的長，進而可得PC的長.

（1）如圖2所示：點D即為所求，D（6，4）；

（2）如圖3，

∵四邊形ABDE及ACFG是正方形，

∴∠EAB＝∠GAC＝90°，AG＝AC，AE＝AB，

∴∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝∠GAC＋∠BAC＝∠GAB

在△EAC和△GAB中

∴△EAC≌△GAB（SAS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∴∠AEC＋∠AHE＝∠ABG＋∠BHO＝90°，

∴EC⊥BG，

∴四邊形BEGC是中母矩形；

（3）如圖4，連接BE，作FP⊥BE于O，交BC于P，連接EP，

∴四邊形BPEF是中母矩形，

∵∠FPB＋∠BFP＝90°，∠EBF＋∠BFP＝90°，

∴∠FPB＝∠FBE，

∵E是斜邊AC的中點，F是直角邊AB的中點，

∴EF//BC，BF＝AB=4，EF＝BC=3，

∵∠FBC=90°，

∴∠EFB=180°-90°=90°，

∴∠EFB=∠FBP=90°

∴△BFE∽△PBF，

∴，

∴

∴PC=BC-BP=6-=

即當P在BC邊上，PC=時，四邊形BPEF是中母矩形.

故答案為：