Question

如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為

1

2

．

Answer 1

分析：過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據等腰三角形性質求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=

1

2

AC即可．

解答：解：過P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，

∠PFD=∠QCD ∠PDF=∠QDC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=

1

2

AC，
∵AC=1，
∴DE=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，平行線的性質等知識點的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，通過做此題培養了學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．