Question

如圖，過邊長為2的等邊△ABC的邊AB上點P作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE長為

 

．

Answer 1

分析：過P做BC的平行線至AC于F，通過求證△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通過證明△APF是等邊三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=

1

2

AC，即可推出ED的長度．

解答：解：過P做BC的平行線至AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵等邊△ABC，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF，AP=CQ，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠Q ∠PDF=∠QDC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=

1

2

AC，∵AC=2，
∴DE=1．
故答案為1．

點評：本題主要考查等邊三角形的判定與性質、平行線的性質、全等三角形的判定與性質，關鍵在于正確地作出輔助線，熟練運用相關的性質、定理，認真地進行計算．