Question

如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  1

  2

• C、

  2

  3

• D、不能確定

Answer 1

分析：過P作BC的平行線，交AC于M；則△APM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，PE是AM上的高，根據等邊三角形三線合一的性質知AE=EM；易證得△PMD≌△QCD，則DM=CD；此時發現DE的長正好是AC的一半，由此得解．

解答：解：過P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等邊三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE=EM=

1

2

AM；（等邊三角形三線合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；
又∵PA=PM=CQ，
在△PMD和△QCD中

∠PDM=∠CDQ ∠PMD=∠DCQ PM=CQ

∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD=DM=

1

2

CM；
∴DE=DM+ME=

1

2

（AM+MC）=

1

2

AC=

1

2

，故選B．

點評：此題考查了平行線的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質；能夠正確的構建出等邊三角形△APM是解答此題的關鍵．