Question

【題目】若平面直角坐標系內的點M滿足橫、縱坐標都為整數，則把點M叫做“整點”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整點”．拋物線y＝mx2﹣4mx+4m﹣2（m＞0）與x軸交于點A、B兩點，若該拋物線在A、B之間的部分與線段AB所圍成的區域（包括邊界）恰有七個整點，則m的取值范圍是（　　）

A. ≤m＜1B. ＜m≤1C. 1＜m≤2D. 1＜m＜2

Answer 1

【答案】B

【解析】

畫出圖象，利用圖象可得m的取值范圍

∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，

∴該拋物線開口向上，頂點坐標為（2，﹣2），對稱軸是直線x＝2．

由此可知點（2，0）、點（2，﹣1）、頂點（2，﹣2）符合題意．

①當該拋物線經過點（1，﹣1）和（3，﹣1）時（如答案圖1），這兩個點符合題意．

將（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．

此時拋物線解析式為y＝x2﹣4x+2．

由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得

∴x軸上的點（1，0）、（2，0）、（3，0）符合題意．

則當m＝1時，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）這7個整點符合題意．

∴m≤1．【注：m的值越大，拋物線的開口越小，m的值越小，拋物線的開口越大】

答案圖1（m＝1時） 答案圖2（ m＝時）

②當該拋物線經過點（0，0）和點（4，0）時（如答案圖2），這兩個點符合題意．

此時x軸上的點 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合題意．

將（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝．

此時拋物線解析式為y＝x2﹣2x．

當x＝1時，得．∴點（1，﹣1）符合題意．

當x＝3時，得.∴點（3，﹣1）符合題意．

綜上可知：當m＝時，點（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合題意，共有9個整點符合題意，

∴m＝不符合題．

∴m＞．

綜合①②可得：當＜m≤1時，該函數的圖象與x軸所圍成的區域（含邊界）內有七個整點，

故選：B．