Question

一快餐店試銷某種套餐，試銷一段時間后發現，每份套餐的成本為5元，該店每天固定支出費用為600元（不含套餐成本）．若每份售價不超過10元，每天可銷售400份；若每份售價超過10元，每提高1元，每天的銷售量就減少40份．為了便于結算，每份套餐的售價x（元）取整數，且要求售價一定高于成本價，用y（元）表示該店日銷售利潤、（日銷售利潤=每天的銷售額-套餐成本-每天固定支出）
（1）當每份套餐售價不超過10元時，請寫出y與x的函數關系式及自變量的取值范圍；
（2）當每份售價超過10元時，該店既要吸引顧客，使每天銷售量較大，又要有最高的日銷售利潤．按此要求，每份套餐的售價應定為多少元？此時日銷售利潤為多少？
（3）新年即將到來，該快餐店準備為某福利院30個小朋友送去新年的禮物，已知購買一份禮物需要20元，于是快餐店統一將套餐的售價定為10元以上，并且每賣出一份快餐就捐出2元作為福利院小朋友購買禮物的經費，則快餐店在售價不超過14元的情況下至少將套餐定為多少錢一份，可使日銷售利潤（不包含已捐出的錢）達到900元？并通過分析判斷此時所集經費是否能夠為福利院每個小朋友都購買一份禮物．
（其中≈4.36，）

Answer 1

【答案】分析：（1）不超過10元時，日銷售利潤=（每份售價-每份成本）×銷售量-固定支出費用；
（2）超過10元時，日銷售利潤=（每份售價-每份成本）×銷售量-固定支出費用，而銷售量=400-（x-10）×40，列出函數關系式，根據二次函數的性質，求利潤最大時，整數x的值，再根據銷售量較大，售價較低取值；
（3）此時，日銷售利潤=（每份售價-每份成本-2）×銷售量-固定支出費用，而銷售量=400-（x-10）×40，列出函數關系式，根據y=900，列方程求解，再計算銷售量及集資資金．
解答：解：（1）y=（x-5）•400-600
=400x-2600（5＜x≤10的正整數）；

（2）當x＞10時，
y=（x-5）•[400-（x-10）×40]-600
=-40x²+1000x-4600
=-40[x²-25x+（）²]+×40-4600
=-40（x-）²+1650，
又∵x只能為整數，
∴當x=12或13時，日銷售利潤最大，
但為了吸引顧客，提高銷量，取x=12，
此時的日利潤為：-40x（12-12.5）²+1650=1640元；

（3）y=（x-5-2）[400-（x-10）•40]-600
=（x-7）（800-40x）-600
=-40x²+1080x-6200，
令：-40x²+1080x-6200=900，
2x²-54x+355=0，
b²-4ac=76，
∴x=，
∵，
∴x₁≈15.68≈16＞14（舍），
x₂≈11.32≈12，
∴套餐售價至少定為12元/份，可達到日銷售利潤為900元，
此時銷售的份數為：400-（12-10）×40=400-80=320份，
∴為福利園所集資金：320×2=640元，
∵30×20=600＜640，
∴快餐店所集經費能為福利院每個小朋友都購買一份禮物．
點評：本題綜合性較強，考查了營銷問題中的利潤問題，用利潤的基本等量關系列函數式，并求最大值；又把函數問題轉化為方程的問題，體現了函數與方程的聯系．