Question

如圖，△ABC內接于⊙O，OC和AB相交于點E，點D在OC的延長線上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．

（1）試判斷直線AD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）AB=，求⊙O的半徑．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）直線AD與⊙O相切。理由如下：

如圖，連接OA，

∵∠B=30°，∴∠AOC=2∠B=60°。

又∵∠D=30°，∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°。

∴OA⊥AD。

∵OA為半徑，∴AD是⊙O的切線。

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△ACO是等邊三角形。

∴∠ACO=60°，AC=OA。∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°。∴OC⊥AB，

又∵OC是⊙O的半徑，∴AE=AB=。

在Rt△ACE中，，∴⊙O的半徑為6。

【解析】

試題分析：（1）連接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根據三角形內角和定理求出∠OAD，根據切線判定推出即可。

（2）求出∠AEC=90°，根據垂徑定理求出AE，根據銳角三角函數的定義即可求出AC，根據等邊三角形的性質推出即可。