Question

已知：關于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）當m取何整數值時，關于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0的根都是整數；
（2）若拋物線y=mx²-3（m-1）x+2m-3向左平移一個單位后，過反比例函數y=（k≠0）上的一點（-1，3），
①求拋物線y=mx²-3（m-1）x+2m-3的解析式；
②利用函數圖象求不等式-kx＞0的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）原方程可能是一元一次方程也可能是一元二次方程，因此分m=0和m≠0兩種情況，先求出兩種情況下方程的根，再由根是整數確m定的值．
（2）①先表示出平移后的拋物線解析式，然后將點（-1，3）代入其中求解即可；
②根據反比例函數過（-1，3）確定k的值，然后分別作出y=和y=kx的函數圖象，找出前者的圖象在后者上方的部分即可．
解答：解：（1）當m=0時，x=1；
當m≠0，可解得x₁=1，x₂==2-；
∴m=±1、±3時，x均有整數根；
綜上可得m=0、±1、±3時，x均有整數根．

（2）①拋物線向左平移一個單位后得到y=m（x+1）²-3（m-1）（x+1）+2m-3，過點（-1，3），代入解得：m=3；
∴拋物線解析式為y=3x²-6x+3．
②∵反比例函數y=（k≠0）經過點（-1，3），
∴k=-1×3=-3；
作出y=kx、y=（k≠0）的圖象（如右圖）
由圖可知：當x＞1或-1＜x＜0時，＞kx；
即：不等式-kx＞0的解集為：x＞1或-1＜x＜0．
點評：該題涉及到：方程與函數的聯系、函數解析式的確定以及利用圖象法解不等式的方法等知識．考查的內容較為基礎，難度不大．