Question

問題背景
（1）如圖，△ABC中，DE∥BC分別交AB，AC于D，E兩點，過點E作EF∥AB交BC于點F．請按圖示數據填空：
四邊形DBFE的面積S=______，△EFC的面積S₁=______，△ADE的面積S₂=______．
探究發現
（2）在（1）中，若BF=a，FC=b，DE與BC間的距離為h．請證明S²=4S₁S₂．
拓展遷移
（3）如圖，?DEFG的四個頂點在△ABC的三邊上，若△ADG、△DBE、△GFC的面積分別為2、5、3，試利用（2）中的結論求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形DBFE是平行四邊形，利用底×高可求面積；△EFC的面積利用底×高的一半計算；△ADE的面積，可以先過點A作AH⊥BC，交DE于G，交BC于H，即AG是△ADE的高，AH是△ABC的高，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求AG，再利用三角形的面積公式計算即可；
（2）由于DE∥BC，EF∥AB，可知四邊形DBFE是?，同時，利用平行線分線段成比例定理的推論，可知△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，從而易得△ADE∽△EFC，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可得S₁：S₂=a2：b2，由于S₁=bh，那么可求S₂，從而易求4S₁S₂，又S=ah，容易證出結論；
（3）過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，容易證出△DBE≌△GHF，那么△GHC的面積等于8，再利用（2）中的結論，可求?DBHG的面積，從而可求△ABC的面積．
解答：（1）解：S=6，S₁=9，S₂=1；

（2）證明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DBFE為平行四邊形，∠AED=∠C，∠A=∠CEF，
∴△ADE∽△EFC，
∴，
∵，
∴，
∴，
而S=ah，∴S²=4S₁S₂；

（3）解：過點G作GH∥AB交BC于H，則四邊形DBHG為平行四邊形，
∴∠GHC=∠B，BD=HG，DG=BH，
∵四邊形DEFG為平行四邊形，
∴DG=EF，
∴BH=EF
∴BE=HF，
∴△DBE≌△GHF，
∴△GHC的面積為5+3=8，
由（2）得，?DBHG的面積為，
∴△ABC的面積為2+8+8=18．
（說明：未利用（2）中的結論，但正確地求出了△ABC的面積，給2分）
點評：本題利用了平行四邊形、三角形的面積公式，還利用了平行四邊形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、平行線分線段成比例定理的推論、全等三角形的判定和性質等知識．