Question

已知：如圖，C為半圓O上一點，AC=CE，過點C作直徑AB的垂線CP，弦AE分別交PC、CB于點D、F．
（1）求證：AD=CD；
（2）若DF=，∠CAE=30°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等弧所對的圓周角相等，和互余的定義等量代換即可得出AD=CD；
（2）陰影部分的面積=扇形的面積-三角形的面積，根據面積公式計算即可．
解答：（1）證明：∵弧AC=弧CE，
∴∠CAE=∠B．
∵CP⊥AB，
∴∠CPB=90°
∴∠B+∠BCP=90°．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACP+∠BCP=90°．
∴∠B=∠ACP．
∴∠CAE=∠ACP．（1分）
∴AD=CD．（2分）

（2）解：連接OC，
∵∠CAE=30°，
∴∠ACD=30°，∠COA=60°．
∴∠CDF=60°．
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．
∴∠BCP=60°．
∴∠BCP=∠DCF=∠CFD=60°．
∴AD=CD=DF=．（3分）
∵OA=OC，∴△AOC是等邊三角形．
∴∠CAO=60°．
∴∠DAP=30°．
∵CP⊥OA，
∴AP=ADcos30°=2．
∴OA=2AP=4．（4分）
∴DP=ADsin30°=．
∴CP=CD+DP=2．（5分）
∴S_陰影=S_扇形-S_△AOC=-=．（6分）
點評：本題主要考查了等弧所對的圓周角相等的性質及扇形的面積公式．