Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O，把邊BA、CD分別繞點B、C同時逆時針旋轉60°得四邊形A′BCD′，其對角線交點為O′，連接OD′．下列結論：
①四邊形A′BCD′為菱形；
②；
③線段OD′的長為-1；
④點O運動到點O′的路徑是線段OO′．

其中正確的結論共有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：①根據旋轉角是60°以及正方形的四個角都是直角可得∠BCD′=30°，然后證明A′B∥CD′，進而得到四邊形A′BCD′是平行四邊形，再根據A′B=BC，即可證明四邊形A′BCD′是菱形；
②根據旋轉角是60°求出點B到A′D′的距離是A′B的一半，也就是AB的一半，然后根據正方形的面積公式以及菱形的面積即可證明；
③先求出OA′的長度，再根據菱形的對邊相等，減去正方形的邊長即可；
④根據旋轉的性質，點O以BC的中點為圓心，以BC的一半為半徑逆時針旋轉可以得到點O′，所以路徑是弧而非線段．
解答：①根據題意，∠A′BA=∠D′CD=60°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCD′=30°，
∴∠A′BC+∠BCD′=60°+90°+30°=180°，
∴A′B∥CD′，
又∵A′B=CD′=AB，
∴四邊形A′BCD′是平行四邊形，
∵AB=BC（正方形的邊長相等），
∴四邊形A′BCD′是菱形，故本題小題正確；
②∵∠ABA′=60°，AB=2，
∴點B到A′D′的距離是：A′B=AB=1，
∴S_{四邊形A′BCD}=BC•（A′B）=2×1=2，
S_{正方形ABCD}=BC•AB=2×2=4，
∴S_{四邊形A′BCD}=S_{正方形ABCD}，故本小題正確；
③∵點O是AC的中點，
∴OA′=A′B•sin60°+BC=2×+×2=+1，
∴OD′=OA′-A′D′=+1-2=-1，故本小題正確；
④根據菱形的對角線互相垂直可得△BCO′是直角三角形，
∴以BC的中點為圓心，以BC的一半為半徑，點O逆時針旋轉可以到達點O′的位置，經過路徑是弧而不是線段OO′，故本小題錯誤．
綜上所述，正確的結論有①②③共3個．
故選C．
點評：本題考查了正方形的性質，菱形的判定與性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，旋轉變換，是綜合題目，但難度不大，仔細分析即可求解．