Question

【題目】在平面直角坐標系中，如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為，與x軸的交點A（﹣1，0）與y軸交于點C（0，﹣2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2．點P是直線BC下方拋物線上的一點，過點P作BC的平行線交拋物線于點Q（點Q在點P右側），連結BQ，當△PCQ的面積為△BCQ面積的一半時，求P點的坐標；

（3）現將該拋物線沿射線AC的方向進行平移，平移后的拋物線與直線AC的交點為A'、C'（點C'在點A'的下方），與x軸的交點為B'，當△AB'C'與△AA'B'相似時，求出點A′的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）點P（1，﹣3）；（3）點A′的橫坐標為．

【解析】

（1）由對稱性可知B（4，0），設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣4），由待定系數法可求得拋物線的解析式；

（2）由平行線間距離處處相等可知，當△PCQ的面積為△BCQ面積的一半時，可求相關線段的長，再求得BC的解析式，將其與拋物線解析式聯立可解；

（3）由平移的相關知識，結合圖形分析，得出方程組，從而得解．

解：（1）由對稱性可知B（4，0）

設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣4）

將（0，﹣2）代入得a＝

∴y＝x2﹣x﹣2．

（2）由平行線間距離處處相等可知，當△PCQ的面積為△BCQ面積的一半時，PQ＝BC

∵C（0，﹣2），B（4，0）

∴BC＝

∴PQ＝

∴PQ2＝＝5

∵直線BC的解析式為y＝x﹣2，PQ∥BC

∴設直線PQ的解析式為y＝x+b

則yP＝xP+b，yQ＝y＝xQ+b

聯立 得

x2﹣4x﹣4﹣2b＝0

則xP+xQ＝4

∵PQ2＝＝5

∴＝5，xQ﹣xP＝2

∴點P（1，﹣3）

（3）由點A（﹣1，0），C（0，﹣2）得直線AC的解析式為y＝﹣2x﹣2

設點A'坐標為（a，﹣2a﹣2），由平移的性質，可知AC＝A'C'＝

平移距離為AA'＝（a+1）

∴AC'（a+2）

當△AB'C'與△AA'B'相似時，只有當△AB'C'∽△AA'B'

∴AB'2＝AA'×AC'＝5（a+1）（a+2）

過點B'作AA'的平行線，交原拋物線于點D，連接AD，

由平移知四邊形ADB'A'為平行四邊形，點D的縱坐標為2a+2

設點D的橫坐標為m，則點B'坐標為（m+a+1，0）

∴AB'2＝（m+a+2）2＝5（a+1）（a+2），①

將點D（m，2a+2）代入y＝ x2﹣x﹣2得

﹣﹣2＝2a+2，②

聯立①②，解得：a＝ ，

m2﹣9m+15＝0，

∴m＝ ，或m＝（舍）

∴a═＝

∴點A′的橫坐標為 ．