Question

如圖所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，D是AB上的一點(diǎn)，且DE⊥BC，垂足為E，直角邊ED交直角邊CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則當(dāng)AD=

 

時(shí)，△ADF與△BDE的面積之和最小，最小值為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)AD=x，則DF=

2

x，∴BD=1-x，DE=

2

2

（1-x），∴設(shè)y=S_△ADF+S_△DEB=

1

2

AD•DF•sin45°+

1

2

BD•DE•sin45°，由此可以建立關(guān)于x的二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出當(dāng)AD=

1

3

AB時(shí)，△ADF與△DEB的面積之和最小，最小值為

1

6

．

解答：解：設(shè)AD=x，則DF=

2

x，
∴BD=1-x，DE=

2

2

（1-x）．
∴設(shè)y=S_△ADF+S_△DEB
=

1

2

AD•DF•sin45°+

1

2

BD•DE•sin45°
=

1

2

x•

2

x•

2

2

+

1

2

（1-x）•

2

2

（1-x）•

2

2

=

3

4

（x-

1

3

）²+

1

6

當(dāng)x=

1

3

時(shí)，y取最小值

1

6

．
∴當(dāng)AD=

1

3

AB時(shí)，△ADF與△DEB的面積之和最小，最小值為

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：求幾何圖形面積最值的問題，一般可以轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題．