Question

設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有，．
利用此知識解決：是否存在實數m，使關于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2？若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：首先設x₁與x₂是方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根，根據根與系數的關系可得：x₁+x₂=-（m+1），x₁•x₂=m+4，又由關于x的方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根平方和等于2，則可求得m的值，△≥0，即可求得滿足條件的m的值．
解答：解：存在．
∵設x₁與x₂是方程x²+（m+1）x+m+4=0的兩根，
∴x₁+x₂=-（m+1），x₁•x₂=m+4，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=[-（m+1）]²-2（m+4）=2，
即m²=9，
解得：m=±3，
∵△=[-（m+1）]²-4（m+4）=m²-2m-15≥0，
∴m=-3．
∴滿足條件的m的值為：-3．
點評：此題考查了根與系數的關系與判別式．此題難度適中，注意掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-，x₁x₂=．