Question

閱讀下面的材料：∵ax²+bx+c=0（a≠0）的根為x1=

-b+ b2-4ac

2a

．，x2=

-b- b2-4ac

2a

．
∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

．
綜上所述得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
請利用這一結論解決下列問題：
（1）若矩形的長和寬是方程4x²-13x+3=0的兩個根，則矩形的周長為

13

2

，面積為

3

4

．
（2）若2+

3

是x²-4x+c=0的一個根，求方程的另一個根及c的值．
（3）直角三角形的斜邊長是5，另兩條直角邊的長分別是x的方程：x²+（2m-1）x+m²+3=0的解，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根據根與系數的關系得到長與寬的和=

13

4

，長與寬的積為

3

4

，即可得到矩形周長與面積；
（2）設方程的另一根為x₁，先根據兩根之和的關系求出x₁，然后利用兩根之積的結論求出c；
（3）設兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c，根據勾股定理、根與系數的關系得到關于a、b、m的方程組，消去a、b，可計算出m，然后根據判別式確定m得值．

解答：解：（1）長與寬的和=

13

4

，長與寬的積為

3

4

，
所以矩形周長為2×

13

4

=

13

2

，矩形的面積為

3

4

；        

（2）設方程的另一根為x₁，依題意得：

x1+(2+ 3 )=4 x1(2+ 3 )=c

，
解得：

x1=2- 3 C=1

；

（3）設兩條直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c，依題意得：

a+b=-(2m-1) ab=m2+3 a2+b2=c2=52

，
∵（a+b）²=a²+2ab+b²=[-（2m-1）]²=4m²-4m+1，
∴4m²-4m+1=25+2（m²+3），即m²-2m-15=0，
解得：m₁=-3，m₂=5，
當m=5時，a+b=-（2m+1）=-（2×5+1）=-11＜0（不合題意，舍去）
∴m的值為-3．
故答案為

13

2

，

3

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了勾股定理和一元二次方程根的判別式．