Question

如果x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么由求根公式可知，x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

．
于是有x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1•x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

綜上得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

這是一元二次方程根與系數的關系，我們可以利用它來解題，例x₁，x₂是方程x²+6x-3=0的兩根，求x₁²+x₂²的值．解法可以這樣：∵x₁+x₂=-6，x₁x₂=-3，則

x

2 1

+

x

2 2

=(x1+x^)2-2x1x2=（-6）²-2×（-3）=42．
請你根據以上材料解答下列題：
（1）若x²+bx+c=0的兩根為1和3，求b和c的值．
（2）已知x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的兩根，求（x₁-x₂）²的值．

Answer 1

分析：（1）根據兩根之積公式和兩根之和公式列方程即可求出b和c的值；
（2）欲求（x₁-x₂）²的值，根據（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，然后利用根與系數的關系，代入數值計算即可．

解答：解：（1）∵x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

，
∴1+3=-b，1×3=c
∴b=-4，c=3；
（2）∵x₁+x₂=4，x₁x₂=2，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4²-4×2=8．

點評：將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．