Question

如圖所示，每個圓周上的數是按下述規則逐次標出的：第一次先在圓周上標出

1

9

，

2

9

兩個數（如圖1）；第二次又在第一次標出的兩個之間的圓周上，分別標出這兩個數的和（如圖2）；第三次再在第二次標出的所有相鄰兩數之間的圓周上，分別標出相鄰兩數的和（如圖3）；按此規則，依此類推，一直標下去．

（1）設n是正整數，記第n次標完數字后，圓周上所有數字的和為S_n，猜想并寫出S_n與S_n-1的關系；
（2）求S₂₀₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，S=

3

9

，當n=2時，S=

9

9

，當n=3時，S=

27

9

，由此可知每次標玩后的和是前一次標完后的和的3倍，即可推出S_n與S_n-1的關系；
（2）根據（1）所推出的結論可知，第n次標完后，S_n=3^n-2，所以S₂₀₁₀的值為3²⁰⁰⁸．

解答：解：（1）∵當n=1時，S₁=

3

9

，
當n=2時，S₂=

9

9

，
當n=3時，S₃=

27

9

，
∴3S₁=S₂，3S₂=S₃，S_n=3^n-2，
∴S_n=3S_n-1，
（2）∵S_n=3^n-2，
∴S₂₀₁₀=3²⁰⁰⁸．

點評：本題主要考查分析總結歸納能力，關鍵在于通過計算每次標注完的和，由數的變化推出數的變化規律．