Question

（1）如圖1，AD是△ABC邊BC上的高．
①求證：AB²-AC²=BD²-CD²；
②已知AB=8，AC=6，M是AD上的任意一點，求BM²-CM²的值；
（2）如圖2，P是矩形ABCD內的一點，若PA=3，PB=4，PC=5，求PD的值．

Answer 1

分析：（1）AD是△ABC邊BC上的高．第一問中BD²移到左邊，AC²移到右邊即可．第二問中BM²=BD²+DM²，CM²=CD²+DM²，BM²-CM²=BD²-CD²，再通過AB，AC的轉化即可．
（2）分別作三條邊的高，利用輔助線及勾股定理解答．

解答：解：（1）①證明：∵AD是△ABC邊BC上的高，
∴在Rt△ABD及Rt△ACD中，
AD²=AB²-BD²，AD²=AC²-CD²，
∴AB²-BD²=AC²-CD²，即AB²-AC²=BD²-CD²．
②BM²=BD²+DM²，CM²=CD²+DM²，
∴BM²-CM²=BD²-CD²，
又CD²=AC²-AD²BD²=AB²-AD²，
∴BM²-CM²=AB²-AC²=8²-6²=28．


（2）矩形ABCD內，作PE⊥AB，PF⊥BC，PM⊥AD，
分別與AB，BC，AD相交于E，F，M，PA=3，PB=4，PC=5，

PE2+AE2=PA2=9 PE2+EB2=PB2=16 PF2+FC2=25

；
則PD²=AE²+MD²，又MD=FC，BF=PE，解之得PD=3

2

．

點評：熟練掌握勾股定理及矩形的性質及運用，能夠運用勾股定理進行等效代換．