Question

（本題滿分8分）在圓內接四邊形ABCD中，CD為∠BCA外角的平分線，F為上一點，BC＝AF，延長DF與BA的延長線交于E．

（1）求證△ABD為等腰三角形．

（2）求證AC•AF＝DF•FE．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）證法一：連CF、BF

∠ACD=∠MCD=∠CDB＋∠CBD=∠CFB＋∠CFD=∠DFB

而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA

∴∠DAB=∠DBA    ∴△ABD為等腰三角形  ……（3分）

證法二：

由題意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,

∴∠MCD=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA即△.ABD為等腰三角形    ……（3分）

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，則弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，

∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF……①                     ……（4分）

又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC＋∠BDA=∠ADF＋∠BDA，即∠CDA=∠BDF，

而∠FAE＋∠BAF=∠BDF＋∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，

同理∠DCA=∠AFE                                     ……（6分）

∴在△CDA與△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE

∴△CDA∽△FAE

∴ ,即CD·EF=AC·AF，又由①有AC·AF=DF·EF

命題即證          ……（8分）

 

 【解析】略