Question

10．如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．
（1）求證：EO=FO；
（2）當CE=12，CF=10時，求CO的長；
（2）當O點運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）先根據等角對等邊，得出OE=OC，OF=OC，再根據等量代換，得出OE=OF；
（2）先根據角平分線的定義，求得∠ECF=90°，再根據勾股定理求得EF的長，最后根據直角三角形的性質，求得CO的長；
（3）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形矩形判定即可．

解答 解：（1）證明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE=∠ACE=∠OEC，∠OCF=∠FCD=∠OFC，
∴OE=OC，OC=OF，
∴OE=OF；
（2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=$\frac{1}{2}$∠ACB+$\frac{1}{2}$∠ACD=$\frac{1}{2}$×180°=90°，
∴Rt△CEF中，EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{61}$，
又∵OE=OF，
∴CO=$\frac{1}{2}$EF=$\sqrt{61}$；
（3）當O運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，
證明：∵AO=CO，OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
由（2）可得∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形．

點評 本題主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定與性質以及勾股定理的應用，解題時注意：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．