Question

【題目】（1）（教材呈現(xiàn)）下圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容．請(qǐng)根據(jù)教材提示，結(jié)合圖23.4.2，寫出完整的證明過程．

（2）（結(jié)論應(yīng)用）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AB上（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，連結(jié)BE，M、N、P分別為DE、BE、BC的中點(diǎn)，順次連結(jié)M、N、P．

①求證：MN＝PN；

②∠MNP的大小是．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②120°

【解析】

教材呈現(xiàn)：證明△ADE∽△ABC即可解決問題．

結(jié)論應(yīng)用：（1）首先證明△ADE是等邊三角形，推出AD＝AE，BD＝CE，再利用三角形的中位線定理即可證明．

（2）利用三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)解決問題即可．

教材呈現(xiàn)：證明：∵點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，

∴，

∵∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE＝∠ABC，，

∴DE∥BC，DE＝BC．

結(jié)論應(yīng)用：

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵DE∥AB，

∴∠ABC＝∠ADE＝60°，∠ACB＝∠AED＝60°，

∴∠ADE＝∠AED＝60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，

∴BD＝CE，

∵EM＝MD，EN＝NB，

∴MN＝BD，

∵BN＝NE，BP＝PC，

∴PN＝EC，

∴NM＝NP．

（2）∵EM＝MD，EN＝NB，

∴MN∥BD，

∵BN＝NE，BP＝PC，

∴PN∥EC，

∴∠MNE∠ABE，∠PNE＝∠AEB，

∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∠ABC＝∠C＝60°，

∴∠MNP＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝120°．