Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D是AB邊上的一點，連結CD，過點C作CD的垂線，與經過點C、D、B的圓交于點E，連結DE，交CB于點F．若AD＝1，DB＝3，則線段DE的長為_____；△CDF的面積為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

過D作DH⊥BC于H，解直角三角形得到AC＝BC＝AB＝，∠B＝45°，推出△BDH是等腰直角三角形，得到BH＝DH＝BD＝根據勾股定理得到CD＝，求得DE＝CD＝，根據相似三角形的性質得到BF＝，求得CF＝，由三角形的面積公式即可得到結論．

過D作DH⊥BC于H，

∵AD＝1，DB＝3，

∴AB＝AD+BD＝4，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴AC＝BC＝AB＝，∠B＝45°，

∵∠ACB＝∠DHB＝90°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BH＝DH＝BD＝

∴CH＝BC﹣BH＝，

∴CD＝，

∵CD⊥CE，∠E＝∠B＝45°，

△DCE是等腰直角三角形，

∴DE＝CD＝，

∵∠ACB＝∠DCE＝90°，

∴∠ACB＝∠BCE，

∵∠BCE＝∠BDE，

∴∠ACD＝∠BDF，

∵∠A＝∠B＝5°，

∴△ACD∽△BDF，

∴，

∴，

∴BF＝，

∴CF＝，

∴△CDF的面積為

故答案為：.