Question

（1）如圖1，直線AB交x軸于點A（2，0），交拋物線y=ax²于點B（1，），點C到△OAB各頂點的距離相等，直線AC交y軸于點D．當x＞0時，在直線OC和拋物線y=ax²上是否分別存在點P和點Q，使四邊形DOPQ為特殊的梯形？若存在，求點P、Q的坐標；若不存在，說明理由．
（2）在（1）題中，拋物線的解析式和點D的坐標不變（如圖2）．當x＞0時，在直線y=kx（0＜k＜1）和這條拋物線上，是否分別存在點P和點Q，使四邊形DOPQ為以OD為底的等腰梯形．若存在，求點P、Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設直線AB的解析式為y=k₁x+b₁經過點A（2，0），
B（1，），
∴，解得，
∴y=-x+2，
拋物線y=ax²經過點B（1，），
又∵點C到△ABC各頂點的距離相等，即點C是△OAB三邊的垂直平分線的交點，連接BC，并延長交OA于E，
∴BE⊥OA，OE=AE，
∴點E的坐標為（1，0），
在Rt△OEC中，CE=OE•tan30°=，
∴點C的坐標為（1，）；
設直線OC的解析式為y=k₂x，
∴=k₂×1，k₂=，∴y=x，
設直線AC的解析式為y=k₃x+b₂，
∴，解得，
∴y=-x+，
∵直線AC交y軸于點D，則點D（0，），CD=．
當OD∥PQ時，①DQ=OP時，四邊形DOPQ為等腰梯形，如圖1，
由題意得，得△OCD為等邊三角形，∠CDO=∠COD，
∴Q是直線AD與拋物線的交點，
∴-x+=x²，解得x₁=-1（舍去），x₂=，
當x=時，x²=，
∴點Q的坐標為（，），
當x=時，=，
∴點P的坐標為（，）
②∠ODQ=90°時，四邊形DOPQ為直角梯形（如圖2），
過點D（0，）且平行于x軸的直線交拋物線y=x²于點Q，=x²，解得x=±（負值舍去），
∴點Q的坐標為（，），把x=代入直線y=x中，得y=，
∴點P的坐標為（，）；
當DQ∥OP時，①OD=PQ時，四邊形DOPQ是等腰梯形，如圖1，
過點D（0，）且平行于OC的直線為y=x+，交拋物線y=x²于點Q，
∴x+=x²，解得x₁=1或x₂=-（舍去），
把x=1代入y=x²中，得y=，
∴點Q的坐標為（1，）（與點B重合），
又∵△OCD是等邊三角形，∠DOC=∠BPO=60°，
設過點Q（1，）且平行于AD的直線y=-x+b，交OC于點P，則b=，
∴y=-x+，
∴-x+=x，解得x=2，
把x=2代入y=-x+中，y=，
∴點P的坐標為（2，）；
②∠OPQ=90°時，四邊形DOPQ為直角梯形，
由上解的知，點Q的坐標（1，）（于點B重合），過B與OC垂直的直線為AB，設OC與AB的交點為P，
∴，解得，點P的坐標為（，），
綜上所述：當P₁（，）、Q₁（，）和P₂（2，）、Q₂（1，）（與點B重合）時，四邊形DOPQ為等腰梯形；當P₃（，）、Q₃（，）和P₄（，）、Q₄（1，）（與點B重合）時，四邊形DOPQ為直角梯形；

（2）由（1）知點D（0，），拋物線y=x²，設G為OD的中點，G（0，），過點G作GH⊥y軸，交直線y=kx于點H，連接DH，
∴H（，），
設直線DH為y=k′x+b′，
∴，解得．
直線DH與拋物線y=x²相交于點Q，
∴x²=-kx+，解得x==（負值舍去），
Q點坐標為{，}
P點坐標為{，}．
分析：利用已知可以首先求出AD直線的解析式，再利用特殊梯形只有直角梯形與等腰梯形，分別討論可以求出．
點評：此題主要考查了一次函數與二次函數的綜合應用，并且利用等邊三角形的性質，綜合性較強，難度較大．