Question

15．如圖，已知AB是⊙的直徑，AC是弦，點P是BA延長線上一點，連接PC，BC．∠PCA=∠B
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若PC=6，PA=4，求直徑AB的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠1+∠2=90°，由等腰三角形的性質得出∠PCA=∠2，因此∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，即可得出結論；
（2）由切割線定理得出PC²=PA•PB，求出PB，即可得出直徑AB的長．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵AB是⊙的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠1+∠2=90°，
∵OB=OC，
∴∠2=∠B，
又∵∠PCA=∠B，
∴∠PCA=∠2，
∴∠1+∠PCA=90°，
即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切線；
（2）解：∵PC是⊙O的切線，
∴PC²=PA•PB，
∴6²=4×PB，
解得：PB=9，
∴AB=PB-PA=9-4=5．

點評 本題考查了切線的判定與性質、等腰三角形的性質、圓周角定理、切割線定理；熟練掌握切線的判定方法，由切割線定理求出PB是解決問題（2）的關鍵．