Question

已知：拋物線y=x²+（a-2）x-2a（a為常數，且a＞0）．
（1）求證：拋物線與x軸有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸的兩個交點分別為A、B（A在B左側），與y軸的交點為C．當時，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）令拋物線的y=x²+（a-2）x-2a的y值等于0，證所得方程x²+（a-2）x-2a=0的△＞0即可；
（2）令拋物線的解析式中y=0，通過解方程即可求出A、B的坐標，進而可得到OA的長；易知C（0，-2a），由此可得到OC的長，在Rt△OAC中，根據勾股定理即可得到關于a的方程，可據此求出a的值，即可確定拋物線的解析式．
解答：解：（1）證明：令y=0，則x²+（a-2）x-2a=0
△=（a-2）²+8a=（a+2）²；
∵a＞0，
∴a+2＞0
∴△＞0
∴方程x²+（a-2）x-2a=0有兩個不相等的實數根；
∴拋物線與x軸有兩個交點；

（2）令y=0，則x²+（a-2）x-2a=0，
解方程，得x₁=2，x₂=-a
∵A在B左側，且a＞0，
∴拋物線與x軸的兩個交點為A（-a，0），B（2，0）．
∵拋物線與y軸的交點為C，
∴C（0，-2a）（3分）
∴AO=a，CO=2a；
在Rt△AOC中，AO²+CO²=（2）²，即a²+（2a）²=20，
可得a=±2；
∵a＞0，
∴a=2
∴拋物線的解析式為y=x²-4．
點評：本題考查了拋物線與x軸交點．解題時，利用了根的判別式、勾股定理、二次函數解析式的求法等知識點．