Question

（2009•海口一模）已知：△ABC是邊長為1的等邊三角形，D是射線BC上一動點（與點B、C不重合），以AD為一邊向右側作等邊△ADE，連接CE．
（1）當點D在線段BC上運動時（如圖1），求證：①EC=DB；②EC∥AB；
（2）當點D在線段BC的延長線上運動時（如圖2），②中的結論是否仍然成立？請說明理由；
（3）當EC=2時，求△ABC與△ADE的面積比．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△ADE與△ABC都是等邊三角形，容易得到全等條件證明△CAE≌△BAD，再根據全等三角形的性質可以證明題目的結論；
（2）根據（1）可知D的位置對△CAE≌△BAD沒有影響，所以結論仍然成立，證明方法完全相同；
（3）當BD=2時，AB=BC=AC=BD，△ABD是直角三角形．這樣在Rt△ABD解直角三角形可以求出AD的長，然后利用相似三角形的性質可以解決問題．
解答：（1）證明：
①∵△ADE與△ABC都是等邊三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°．
∴∠DAE-∠CAD=∠BAC-∠CAD．
即∠CAE=∠BAD．
∴△CAE≌△BAD．
∴EC=DB．
②由△CAE≌△BAD
∴∠ACE=∠B=60°．
∴∠ACE=∠BAC=60°．
∴EC∥AB．

（2）解：②中得到的結論是否仍然成立．
∵△CAE≌△BAD（SAS）．
∴∠ACE=∠B=60°．
∴∠ACE=∠BAC=60°．
∴EC∥AB．

（3）解：∵△CAE≌△BAD．
∴BD=CE=2．
∵△ABC是邊長為1的等邊三角形，
∴當BD=2時，點D在線段BC的延長線上，
AB=BC=AC=BD，
∴△ABD是直角三角形．
在Rt△ABD中，AD=BD•sinB=2×=．
∵△ABC∽△ADE．
∴△ABC與△ADE的面積比為1：3．
點評：此題主要考查全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質和相似三角形的性質等知識．