Question

已知：如圖，點O在等腰△ABC的一腰AB上．
（1）若AB為⊙O的直徑，⊙O交BC于D，過D作DE⊥AC于E．求證：DE是⊙O的切線．
（2）如果點O由（1）中的位置在AB上向點B移動，以O為圓心，以OB長為半徑的圓交BC于D，若S_△ABC=25，AB=10，點O移動到何處⊙O與AC相切于點F？

Answer 1

（1）證明：連接OD；
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE．
∴DE與⊙O相切．

（2）證明：
連接OD，OF，過B作BN⊥AC于N，
∵△ABC的面積是25，AB=AC=10，
∴×10×BN=25，
∴BN=5，
∵AF是⊙O的切線，
∴OF⊥AC，
設OF=x，
∵OF⊥AC，BN⊥AC，
∴OF∥BN，
∴△AFO∽△ANB，
∴=，
∴=，
∴x=，
∴AG=10--=，
∵AF是⊙O的切線，AGB是⊙O的割線，
∴AF²=AG×AB=×10，
∴AF=，
答：AF的長是．
分析：（1）連接OD，證OD⊥DE，即DE與⊙O相切；
（2）連接OD，OF，過B作BN⊥AC于N，過B作BN⊥AC于N，根據三角形面積求出高BN，根據△AFO∽△ANB，得出比例式，求出半徑OF、OB，求出AG，根據切割線定理求出AF即可．
點評：本題考查了切線的判定和性質，三角形的面積，切割線定理的應用，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．