Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）設△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

（3）當t為何值時，△CPQ為等腰三角形？

Answer 1

       解：（1）如圖1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S_△ABC=BC•AC=AB•CD．

∴CD===4.8．

∴線段CD的長為4.8．

（2）①過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．

由題可知DP=t，CQ=t．

則CP=4.8﹣t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°﹣∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP=90°．

∴∠CHP=∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

∴PH=﹣t．

∴S_△CPQ=CQ•PH=t（﹣t）=﹣t²+t．

②存在某一時刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100．

∵S_△ABC=×6×8=24，

且S_△CPQ：S_△ABC=9：100，

∴（﹣t²+t）：24=9：100．

整理得：5t²﹣24t+27=0．

即（5t﹣9）（t﹣3）=0．

解得：t=或t=3．

∵0≤t≤4.8，

∴當t=秒或t=3秒時，S_△CPQ：S_△ABC=9：100．

（3）①若CQ=CP，如圖1，

則t=4.8﹣t．

解得：t=2.4．

②若PQ=PC，如圖2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴．

∴．

解得；t=．

③若QC=QP，

過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．

同理可得：t=．

綜上所述：當t為2.4秒或秒或秒時，△CPQ為等腰三角形．