Question

如圖，⊙O的割線PBA交⊙O于A、B，PE切⊙O于E，∠APE的平分線和AE、BE分別交于C、D，PE=4

3

，PB=4，∠AEB=60°．
（1）求證：△PDE∽△PCA；
（2）試求以PA、PB的長為根的一元二次方程；
（3）求⊙O的面積．（答案保留π）

Answer 1

分析：（1）根據弦切角定理和角平分線可以得出∠PEB=∠EAB，∠CPE=∠CPA，有了這兩組相等的對應角，兩三角形也就相似了；
（2）可根據切割線定理進行求解，根據切割線定理我們可得出PA的值，有了PB，PA的值，那么可先表示出PB+PA，PB•PA，利用一元二次方程根與系數的關系即可取出所求的方程；
（3）本題的關鍵是求出半徑的長，連接BO并延長交⊙O于F，連接AF，那么∠EAB=90°，根據圓周角定理我們可得出∠F的度數，又知道了AB的長，那么可用正弦函數求出BF的長，也就求出了半徑的長，有了半徑，根據圓的面積公式即可求出圓O的面積．

解答：（1）證明：由弦切角定理得∠PEB=∠EAB，
∵PC是∠APE的平分線，
∴∠CPE=∠CPA，
∴△PDE∽△PCA；

（2）解：由切割線定理得PE²=PA•PB，
∵PE=4

3

，PB=4，
∴PA=12，
∴PA+PB=16，PA•PB=48，
∴所求方程為：x²-16x+48=0；

（3）解：連接BO并延長交⊙O于F，連接AF，
則BF是⊙O的直徑，
∴∠BAF=90°，
∴∠AEB=∠F=60°
在Rt△ABF中，sin60°=

AF

BF

=

PA-PB

BF

=

12-4

BF

=

8

BF

=

3

2

，
∴BF=

16 3

3

．
∴⊙O的面積為：π（

BF

2

）²=π(

1

2

×

16 3

3

)2=

64π

3

（面積單位）．

點評：本題主要考查了弦切角定理，切割線定理，圓周角定理，一元二次方程根與系數的關系和解直角三角形等知識點，綜合性比較強，對于學生分析問題的能力要求比較高．