Question

16．觀察下列式子，并完成后面的問題：
1³+2³=$\frac{1}{4}×{2^2}×{3^2}$
1³+2³+3³=$\frac{1}{4}×{3^2}×{4^2}$
1³+2³+3³+4³=$\frac{1}{4}×{4^2}×{5^2}$
…
（1）1³+2³+3³+4³+…+n³=$\frac{1}{4}$×n²×（n+1）²；
（2）（2n）³=2n×2n×2n=2×2×2n•n•n=2³n³=8n³．你能利用上述關系計算2³+4³+6³+8³+…+20³=24200；
（3）得用（1）、（2）得到結論，7³+9³+…+19³等于多少嗎？并寫出你是怎樣得到的？

Answer 1

分析 （1）觀察不難發現，從1開始的連續自然數的立方和等于自然數的個數的平方乘比個數大1的數的平方，再除以4；
（2）將原式變形為（2×1）³+（2×2）³+（2×3）³+（2×4）³+…+（2×10）³=8×（1³+2³+3³+4³+…+10³），再套用（1）中公式計算可得；
（3）由（1）得1³+2³+3³+4³+…+20³=$\frac{1}{4}$×20²×21²=44100，由（2）得2³+4³+6³+8³+…+20³=8×$\frac{1}{4}$×10²×11²=24200，兩式相減從而得出1³+3³+5³+7³+…+19³，再減去1³+3³+5³即可得答案．

解答 解：（1）∵1³=$\frac{1}{4}$×1²×2²，
1³+2³=$\frac{1}{4}$×2²×3²，
1³+2³+3³=$\frac{1}{4}$×3²×4²，
∴1³+2³+3³+…+（n-1）³+n³=$\frac{1}{4}$×n²×（n+1）²；
故答案為：$\frac{1}{4}$×n²×（n+1）²；

（2）原式=（2×1）³+（2×2）³+（2×3）³+（2×4）³+…+（2×10）³
=8×（1³+2³+3³+4³+…+10³）
=8×$\frac{1}{4}$×10²×11²
=24200，
故答案為：24200；

（3）由（1）知1³+2³+3³+4³+…+20³=$\frac{1}{4}$×20²×21²=44100，
由（2）知，2³+4³+6³+8³+…+20³=8×$\frac{1}{4}$×10²×11²=24200，
∴1³+3³+5³+7³+…+19³=44100-24200=19900，
又∵1³+3³+5³=1+27+125=153，
∴7³+9³+…+19³=19747．

點評 本題主要考查數字的變化規律，根據題意得出數字的規律是從1開始的連續自然數的立方和等于自然數的個數的平方乘比個數大1的數的平方，再除以4是解題的關鍵．